Mathematik für Informatiker 2

"Mathematik für Informatiker" ist eine drei Semester lange Pflichtveranstaltung des Grundstudiums Medieninformatik.

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letzte Änderung: 20. Juli 2001

Ziel

Diese Veranstaltung soll die Mathematik vermitteln, die in den anwendungsorientierten Bereichen der Informatik benötigt wird. Die Spannweite reicht von Differentialgleichungen und analytischer Geometrie bis hin zu Kryptografie und Statistik. Numerische Verfahren stellen einen wesentlichen Teil des Stoffes. Sie werden soweit möglich nicht getrennt abgehandelt, sondern im jeweiligen Themenzusammenhang erklärt. Der Schwerpunkt liegt auf praxisbezogenem Wissen, nicht auf der Vermittlung abstrakter Konstruktionen oder entlegener mathematischer Beweise. Dort, wo Beweise für Anwendungen wichtige Einblicke liefern, geht die Vorlesung aber sogar über das übliche Maß hinaus.

Prüfungsleistungen

Die Prüfungsleistungen bestehen in zwei Klausuren (Bezeichnung laut Prüfungsordnung: "schriftliche Arbeit unter Aufsicht"):

nach dem zweiten Semester: eine Klausur über Algebra, Lineare Algebra und eindimensionale Analysis (also der Stoff des ersten und der größere Teil des Stoffs des zweiten Semesters), erster Termin: Montag, 6. August 2001, 13 Uhr, E600, zweiter Termin (gleichzeitig Wiederholertermin): Dienstag, 25. September 2001, 10 Uhr, E407. Hilfsmittel: eine selbstverfasste Formelsammlung von maximal drei einseitig beschriebenen oder bedruckten Blättern (mit abzugeben), kein Taschenrechner
nach dem dritten Semester: eine Klausur über mehrdimensionale Analysis, Funktionstransformationen, Differentialgleichungen und Stochastik

Unterrichtsform

Die Vorlesung ist seminaristisch; ich werde also versuchen, den Stoff im Gespräch mit Ihnen zu erarbeiten. Wenn Sie nicht folgen können, bremsen Sie mich sofort, indem Sie nachfragen. Das ist eine strikte Anweisung an Sie, keine freundliche Empfehlung. Sie können davon ausgehen, dass andere Studenten dieselben Probleme haben -- das aber nicht kundtun. Um eine Frage zu stellen, müssen Sie sich nicht mit Handzeichen melden. Unterbrechen Sie mich einfach bei der nächstmöglichen Gelegenheit.

Skript

Meine Unterlagen scanne ich ein und stelle sie zum Download bereit. Ich hoffe, meine Schrift ist halbwegs lesbar; ansonsten melden Sie sich bitte zwecks Entzifferung. Die Seiten etwa mit pdfTeX und einem Grafikprogramm druckreif aufzubereiten, würde mich mehrere Stunden pro Vorlesung kosten. Diese Zeit möchte ich lieber dazu benutzen, an der Didaktik zu arbeiten.

Eingeschobene Seiten sind nach dem Muster 10, 10a, 10b, 11 nummeriert. Ändere ich Skripte oder Aufgaben im Nachhinein (vor allem, um Fehler zu beseitigen), stelle ich zusätzlich eine kommentierende HTML-Datei in das jeweilige Verzeichnis. Mangels Zeit ausgelassene Stellen markiere ich mit einer Wellenlinie am linken Rand. Diese Stellen sollten Sie zwar zur Kenntnis nehmen, Teil der Prüfungen sind sie aber nicht.

Übungen

Mit Hilfe der Übungsaufgaben sollen Sie lernen, selbstständig an mathematischen Problemen zu arbeiten und Ihre Lösungen -- oder Ihre Probleme bei der Suche danach -- im Kreis der Mitstudenten zu präsentieren bzw. zu diskutieren. Dazu stelle ich Aufgaben, die Sie außerhalb der Veranstaltungen bearbeiten sollen. Einige wichtige mathematische Tatsachen und Techniken werden nicht ausdrücklich in der Vorlesung behandelt, sondern sind Teil von Übungsaufgaben. Die Aufgaben der Übungen gleichen den Aufgaben der Klausuren und sind damit eine ideale Vorbereitung -- auch, was die Stressbewältigung angeht. Nutzen Sie diese Chance.

Bei Problemen mit den Aufgaben können Sie mich jederzeit anmailen. Oder helfen Sie sich selbst und lösen die Aufgaben z.B. in einer Zwei- oder Vierergruppe. Ich empfehle Ihnen dringend, die Lösungen aufzuschreiben und mir per E-Mail oder auf Papier zur Korrektur zu geben. Sie können mir Lösungen auch im Nachhinein vorlegen, sogar noch in der vorlesungsfreien Zeit. Die Teilnahme an den Übungen und der Erfolg bei abgegebenen Übungsaufgaben hat in dieser Veranstaltung keinen Einfluss auf die Benotung. Wenn Sie wollen, reichen Sie mir die Lösungen anonym ein, auch wenn ich sie nachsehen soll.

Literatur

Ich habe möglichst günstige und kompakte Bücher gesucht:

Engeln-Müllges, Schäfer, Trippler: Kompaktkurs Ingenieurmathematik, ISBN 3-446-21063-6, Preis: 40 Mark (demnächst zweite Auflage, hoffentlich mit meinen Korrekturen ;-)
Roos, Schwetlick: Numerische Mathematik, ISBN 3-519-00221-3, Preis: 35 Mark

Zusammen decken beide Bücher alle drei Semester weitgehend ab. Dabei wird der Stoff von "Numerische Mathematik" nur zum Teil behandelt; also nicht erschrecken beim Aufschlagen des Buchs!

Diese Bücherliste ist bloß ein Hinweis für Unentschlossene. Welches Medium und welches Lehrmaterial Sie am besten unterstützt, können Sie nur per Selbstversuch feststellen. Dank Internet kommt man im mathematischen Alltag ohne Bücher aus -- entsprechende Englischkenntnisse vorausgesetzt. Fragen und Antworten auf Deutsch gibts bei ZahlReich. Nach Themen gegliederte Querverweise zu Vorlesungsmaterialien etc. finden sich in den Mathematics Archives. Aber Vorsicht: Viele Fachbegriffe lauten im Englischen anders, als man erwarten könnte (Übersetzungshilfe).

Software

Zum Betrachten von Funktionskurven und -flächen sowie Ableitungen eignet sich sehr gut das Java-Applet xFunctions. Es führt außerdem die Integration mit Riemannschen Summen vor, erlaubt, mehrere Funktionen zu vergleichen, zeichnet parametrische Kurven und integriert Differentialgleichungssysteme erster Ordnung.

Raum und Zeit

nach Osterpause geändert: Donnerstag 4. und 5. Doppelstunde, E500; Freitag, 1. und 2. Doppelstunde E405

Termine

was bisher geschah: Webseite zum ersten Semester

13..Mär	Di	Wiederholung Lineare Algebra
15. Mär	Do	verbliebene Übungsaufgaben vom letzten Semester
16. Mär	Fr	inhomogene/homogene lineare Gleichungssysteme; so viele Gleichungen wie Unbekannte: Cramersche Regel, inverse Matrix, reguläre/singuäre Matrizen; n Gleichungen und m Unbekannte: Existenz von Lösungen, Bild und Rang einer Matrix, voller Rang
16. Mär	Fr	verbliebene Übungsaufgaben vom letzten Semester
20. Mär	Di	n Gleichungen und m Unbekannte: Eindeutigkeit von Lösungen, zugehöriges homogenes lineares Gleichungssystem, Kern; Rang + dim Kern = dim Definitionsbereich; Beispiele: Schnittmengen von Geraden und Ebenen
22. Mär	Do	verbliebene Übungsaufgaben vom letzten Semester
23. Mär	Fr	Nachteile der Cramerschen Regel; Lösung linearer Gleichungssysteme mit beliebigen Zahlen von Gleichungen und Unbekannten mittels Gaußschem Eliminationsverfahren, Beispiele für leere Lösungmenge und für mehrdeutige Lösungen, numerische Stabilität, Spaltenpivotisierung
23. Mär	Fr	Übungen
26. Mär	Mo	Von Freitag vorgezogen: 3. Doppelstunde E404. Eigenwert, Eigenvektor, charakteristisches Polynom, Eigenraum
26. Mär	Mo	Von Freitag vorgezogen: 4. Doppelstunde E407. Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Drehungen in der Gaußschen Zahlenebene, exp, sin, cos, e, pi, Euler-Formel; polare Zerlegung; Additionstheoreme
27. Mär	Di	weiter: exp
29. Mär	Do	weiter: Drehungen in der Gaußschen Zahlenebene
19. Apr	Do	weiter sin, cos, e, pi, Euler-Formel; polare Zerlegung; Additionstheoreme; sinh, cosh; tan; Periodizität; Arcus-Funktionen (Skript: siehe Datei 2001-03-28)
19. Apr	Do	Übungen
20. Apr	Fr	Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen; Fundamentalsatz der Algebra (Skript: siehe Datei 2001-03-20a)
20. Apr	Fr	Übungen
26. Apr	Do	Drehungen und Spiegelungen im R² (Skript: siehe Datei 2001-03-20b)
26. Apr	Do	Übungen
27. Apr	Fr	Reelle eindimensionale Analysis. Folgen, Beschränktheit, Monotonie; Konvergenz und Grenzwerte von Folgen; Rechenregeln
27. Apr	Fr	Übungen
03. Mai	Do	Reihen, bedingte und absolute Konvergenz sowie Summe einer unendlichen Reihe, Konvergenzkriterien, Rechenregeln
03. Mai	Do	Übungen
04. Mai	Fr	Funktionen einer reellen Variablen, Nullstelle, Monotonie, Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion, elementare Funktionen, reelle Polynome, gebrochenrationale Funktionen, Pole, Asymptoten
04. Mai	Fr	Übungen
10. Mai	Do	Grenzwerte von Funktionen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit, Rechenregeln für Grenzwerte stetiger Funktionen Zwischenwertsatz; Minimum, Maximum
10. Mai	Do	Übungen
11. Mai	Fr	Differentiation/Ableitung, Differenzierbarkeit, Rechenregeln für Ableitungen, Ableitungen elementarer Funktionen, mehrfache Differentiation
11. Mai	Fr	Übungen
17. Mai	Do	lokale Extrema, Monotonität, Sattelpunkte, konkave/konvexe Funktionen; implizite Ableitung; Satz von l'Hospital
17. Mai	Do	Übungen
18. Mai	Fr	Flächeninhalt, Rechenregeln für Integrale, Integrierbarkeit, bestimmtes Integral, uneigentliches Integral
18. Mai	Fr	Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung, Stammfunktion (unbestimmtes Integral), Grundintegrale
29. Mai	Di	Terminänderung, 3. Block, E405, Partialbruchzerlegung, partielle Integration, Substitution
31. Mai	Do	numerische Differentiation; numerische Integration (Trapez, Simpson)
31. Mai	Do	Übungen
01. Jun	Fr	Taylor-Reihe
01. Jun	Fr	Übungen
05. Jun	Di	Terminänderung, 3. Block, E401, Potenzreihen, Konvergenzradius
07. Jun	Do	4. Block: Vortrag "Test von Web-Anwendungen" (Veranstalter: Kollege Spillner) in Raum E500 oder E400. Zum Ausgleich Zusatztermin am Dienstag, den 12. Juni. 5. Block: Reelle mehrdimensionale Analysis. reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher; Darstellungsverfahren (Graphenflächen, Niveaulinien, Niveauflächen, Schnitte), Grenzwert, Stetigkeit
08. Jun	Fr	(Fortsetzung von Do)
08. Jun	Fr	Übungen
12. Jun	Di	Zusatztermin, 3. Block, E401, Gradient, partielle Ableitung, totales Differential
14. Jun	Do	Hesse-Matrix und lokale Extrema in 2D
14. Jun	Do	Übungen
15. Jun	Fr	mehrdimensionale Integration, variable Grenzen; kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, sphärische Koordinaten
15. Jun	Fr	Übungen
21. Jun	Do	Kurve, Tangente, Kurvenlänge, Fläche von Funktionsflächen
21. Jun	Do	Übungen
22. Jun	Fr	Kegelschnitte; Flächen zweiter Ordnung
22. Jun	Fr	Übungen
28. Jun	Do	iterative Lösung von (nichtlinearen) Gleichungen und Gleichungssystemen: binäre Teilung, Sekantenverfahren, Newton-Verfahren; Iteration von Funktionen, Banachscher Fixpunktsatz, anziehende Fixpunkte
28. Jun	Do	kein Prüfungsstoff: abstoßende Fixpunkte, Iteration der logistischen Gleichung, Feigenbaum-Diagramm, Julia-Mengen, Mandelbrot-Menge
29. Jun	Fr	Funktionstransformationen. Fourier-Transformation periodischer Funktionen (Fourier-Reihe)
29. Jun	Fr	Übungen
05. Jul	Do	Fourier-Transformation nichtperiodischer Funktionen
05. Jul	Do	Übungen
06. Jul	Fr	Cosinus-Transformation
06. Jul	Fr	Übungen

Planung für das nächste Semester

Wiederholung Fourier-Transformation

FFT, DCT

Nyquist-Theorem, Rekonstruktion, Windowing

Wavelet-Transformation, DWT

Laplace-Transformation

Differentialgleichungen. Grundlagen gewöhnlicher Differentialgleichungen; Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Anfangswerte; lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, explizite Differentialgleichungen beliebiger Ordnung

lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten; Superpositionsprinzip; homogene und inhomogene Typen; charakteristische Gleichung; Fundamentalsystem, Variation der Konstanten

Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Laplace-Transformation

Faltungssatz; Lösung von linearen Differentialgleichungen mittels Fourier-Transformation

numerische Lösung von Anfangswertproblemen: Polygon, Euler, Heun, Runge-Kutta

Grundlagen partieller Differentialgleichungen

numerische Lösung von Randwertproblemen, Grundlagen finiter Elemente

Stochastik. Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz

diskrete und stetige Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte; Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit

Binomialverteilung, Normalverteilung, Poissonverteilung; Zentraler Grenzwertsatz

Zufallszahlengeneratoren und ihre Güte, Erzeugen vorgegebener Verteilungen

Statistik. Schätzungen für Erwartungswert und Varianz, Maximum Likelihood, Konfidenz, Prüfung von Hypothesen, chi²